Question

【题目】设A是圆O：x2+y2＝16上的任意一点，l是过点A且与x轴垂直的直线，B是直线l与x轴的交点，点Q在直线l上，且满足4|BQ|＝3|BA|．当点A在圆O上运动时，记点Q的轨迹为曲线C．

（1）求曲线C的方程；

（2）已知直线y＝kx﹣2（k≠0）与曲线C交于M，N两点，点M关于y轴的对称点为M′，设P（0，﹣2），证明：直线M′N过定点，并求△PM′N面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）1（2）证明见解析,△PM′N面积的最大值为

【解析】

（1）点在圆上运动，引起点的运动，我们可以由，得到点和点坐标之间的关系式，并由点的坐标满足圆的方程得到点坐标所满足的方程；

（2）设，，，，则，，联立，得，利用直线的斜率，求直线的方程，即可直线过定点，并求出面积的最大值．

解：（1）设，，，，在直线上，

，．①

点在圆上运动，．②

将①式代入②式即得曲线的方程为．

证明：（2）设，，，，则，，

联立，得，

，．

直线的斜率，

直线的方程为．

令，得，

直线过定点．

面积，

当且仅当，即时取等号，

面积的最大值为．