题目内容
(本小题满分15分) 如图，在三棱锥
中，
，
，点
分别是
的中点，
底面
．
（1）求证：
平面
；
（2）当
时，求直线
与平面
所成角的正弦值；
（3）当
为何值时，
在平面内的射影恰好为
的重心．
中，，，点分别是的中点，底面．（1）求证：
平面；（2）当
时，求直线与平面所成角的正弦值；（3）当
为何值时，在平面内的射影恰好为的重心．（1）证明见解析。
（2）
（3）
（2）
（3）
（1）证明：
平面
，
．
以为原点，建立如图所示空间直角坐标系
．
设
，则
．
设
，则
．
为
的中点，
．
，
．
，
平面．
（2），即
，
，
可求得平面的法向量
．
．
设与平面所成的角为
，
则
．
与平面所成的角的正弦值为．
（3）的重心
，
，
平面，
．又
，
．
．
，即．反之，当时，三棱锥
为正三棱锥．
在平面内的射影为的重心．
平面，．以
为原点，建立如图所示空间直角坐标系．设
，则．设
，则．为的中点，．，．，平面．（2）
，即，，可求得平面
的法向量．．设
与平面所成的角为，则
．与平面所成的角的正弦值为．（3）
的重心，，平面，．又，．．，即．反之，当时，三棱锥为正三棱锥．在平面内的射影为的重心．
练习册系列答案
名师指导期末冲刺卷系列答案
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CD＝1，PD＝
.
？
的底面为直角梯形，
，
底面
，且
，
，
是
的中点。
面
；
与
与面
所成二面角的余弦值．
，则向量
的夹角为
中，底面是等腰直角三角形，
，侧棱
，D，E分别是
与
的中点，点E在平面ABD上的射影是
的重心G．则
中，
，
面
，
，求面
与面
所成二面角的正切值．
，且l的方向向量为(2, m, 1), 平面
, 2), 则m= .