Question

 如图，在三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，四边形A₁ABB₁是菱形，四边形BCC₁B₁是矩形，AB⊥BC，CB=3，AB=4，∠A₁AB=60°。

（1）求证：平面CA₁B⊥平面A₁ABB₁；      

（2）求直线A₁C与平面BCC₁B所成角的正切值；

（3）求点C₁到平面A₁CB的距离。

A1

B1

 

 

C1

   

 

B

A

C

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （1）证：因为四边形BCC₁B₁是矩形，∴BC⊥BB₁，又∵AB⊥BC，∴BC⊥平面A₁ABB₁。∵BC平面CA₁B，∴平面CA₁B⊥平面A₁ABB₁。

（2）解：过A₁作A₁D⊥B₁B于D，连接DC，∵BC⊥平面A₁ABB₁，

∴BC⊥A₁D，∴A₁D⊥平面BCC₁B₁，故∠A₁CD为直线A₁C与平面BCC₁B₁所成的角。∵CB=3，AB=4，∴A₁D=，∴tan∠A₁CD=

（3）∵B₁C₁∥BC₁，∴B₁C₁∥平面A₁BC，∴C­₁到平面A₁BC的距离即为B₁到平面A₁BC的距离。连结AB₁，AB­₁与A₁B交于点O，∵四边形A₁ABB₁是菱形，∴B₁O⊥A₁B，∵CA₁B⊥平面A₁ABB₁，∴B₁O⊥平面A₁BC，∴B₁O即为C₁到平面A₁BC的距离。∵B₁O=，∴C₁到平面A₁BC的距离为。