题目内容
【题目】已知
的三个顶点
均在抛物线
上，给出下列命题：
①若直线
过点
，则存在使抛物线的焦点恰为的重心；
②若直线过点
，则存在点
使为直角三角形；
③存在，使抛物线的焦点恰为的外心；
④若边
的中线
轴，
，则的面积为
.
其中正确的序号为______________．
【答案】①②.
【解析】
对于①设出直线
方程，与抛物线联立，利用韦达定理，求出
坐标和，再利用重心坐标公式，求出
点坐标，代入抛物线方程，即可得出结论；
对于②当直线过点
，可证
，即可得出结论为正确；
对于③判断以焦点为圆心的圆与抛物线是否有三个交点；
对于④设
方程与抛物线联立，利用韦达定理，求出中点坐标，然后转化为
点坐标，将点坐标代入抛物线方程，求出
的面积，即可判断结论是否正确.
设
三点坐标分别为
，
①直线过点
，设方程为
，
联立
，消去
，得
，
，
抛物线
的焦点恰为的重心，
，
将点坐标代入抛物线方程
，
当
时，
，①正确；
②直线过点，设方程为
，
联立
消去得，
，
，
，而点
在抛物线上，故②正确；
③设以抛物线焦点
为圆心的圆半径为
，
其方程为
，与抛物线方程联立得
，
方程至多只有一个非负解，即圆与抛物线至多只有两个交点，
不存在，使抛物线的焦点恰为的外心；③不正确；
④的方程为
，代入抛物线方程得，
，
设中点
，
轴，
，
，代入抛物线方程得
，
.
④不正确.
故答案为:①②.
【题目】某城市有东、西、南、北四个进入城区主干道的入口，在早高峰时间段，时常发生交通拥堵，交警部门记录了11月份30天内的拥堵情况（如下表所示，其中●表示拥堵，○表示通畅）.假设每个人口是否发生拥堵相互独立，将各入口在这30天内拥堵的频率代替各入口每天拥堵的概率.
11.1 | 11.2 | 11.3 | 11.4 | 11.5 | 11.6 | 11.7 | 11.8 | 11.9 | 11.10 | 11.11 | 11.12 | 11.13 | 11.14 | 11.15 | ||||||||||||||||
东入口 | ● | ○ | ○ | ○ | ○ | ● | ○ | ● | ● | ○ | ● | ● | ● | ○ | ● | |||||||||||||||
西入口 | ○ | ○ | ● | ● | ○ | ● | ○ | ● | ○ | ● | ○ | ● | ● | ○ | ○ | |||||||||||||||
南入口 | ○ | ● | ○ | ○ | ○ | ● | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ● | |||||||||||||||
北入口 | ● | ○ | ○ | ○ | ● | ○ | ○ | ● | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ● | ○ | |||||||||||||||
11.16 | 11.17 | 11.18 | 11.19 | 11.20 | 11.21 | 11.22 | 11.23 | 11.24 | 11.25 | 11.26 | 11.27 | 11.28 | 11.29 | 11.30 | ||||||||||||||||
东入口 | ● | ○ | ○ | ● | ○ | ○ | p>○ | ● | ● | ○ | ● | ○ | ● | ○ | ● | |||||||||||||||
西入口 | ● | ○ | ● | ● | ○ | ● | ○ | ● | ○ | ● | ○ | ● | ○ | ● | ○ | |||||||||||||||
南入口 | ○ | ○ | ○ | ● | ○ | ○ | ○ | ○ | ● | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ● | |||||||||||||||
北入口 | ○ | ○ | ● | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ | ● | ○ | |||||||||||||||
（1）分别求该城市一天中早高峰时间段这四个主干道的入口发生拥堵的概率.
（2）各人口一旦出现拥堵就需要交通协管员来疏通，聘请交通协管员有以下两种方案可供选择.方案一：四个主干道入口在早高峰时间段每天各聘请一位交通协管员，聘请每位交通协管员的日费用为
（
，且
）元.方案二：在早高峰时间段若某主干道入口发生拥堵，交警部门则需临时调派两位交通协管员协助疏通交通，调派后当日需给每位交通协管员的费用为200元.以四个主干道入口聘请交通协管员的日总费用的数学期望为依据，你认为在这两个方案中应该如何选择？请说明理由.
