题目内容
【题目】在三棱柱
中，侧面
为矩形， 
， 
， 
是
的中点， 
与
交于点
，且
平面
．
（1）证明：平面
平面
；
（2）若
， 
的重心为
，求直线
与平面
所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
．
【解析】试题分析：（1）通过证明
， 
，推出
平面
，然后证明平面
平面
．（2）以
为坐标原点，分别以
， 
， 
所在直线为
， 
， 
轴建立如图所示的空间直角坐标系
．求出平面
的法向量，设直线
与平面
所成角
，利用空间向量的数量积求解直线
与平面
所成角的正弦值即可．
试题解析：（1）∵
为矩形， 
， 
， 
是
的中点，
∴
， 
， 
， 
，
从而
， 
，
∵
， 
，∴
，
∴
，
∴
，从而
，
∵
平面
， 
平面
，
∴
，
∵
，∴
平面
，
∵
平面
，
∴平面
平面
．
（2）如图，以
为坐标原点，分别以
， 
， 
所在直线为
， 
， 
轴建立如图所示的空间直角坐标系
．
在矩形
中，由于
，所以
和
相似，
从而
，
又
， 
，
∴
， 
， 
， 
，
∴
， 
， 
， 
， 
，
∵
为
的重心，∴
， 
，
设平面
的法向量为
，
， 
，
由
可得
整理得
令
，则
， 
，∴
，
设直线
与平面
所成角
，则
，
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
．
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