题目内容
【题目】已知椭圆的两焦点为
,
,且过点
,直线
交曲线
于
,
两点,
为坐标原点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若不过点
且不平行于坐标轴,记线段
的中点为
,求证:直线
的斜率与
的斜率的乘积为定值;
(3)若直线过点
,求
面积的最大值,以及取最大值时直线
的方程.
【答案】(1)(2)见解析 (3)最大值
.
【解析】
(1)根据焦点求得,结合
点坐标列方程组,解方程组求得
,进而求得椭圆的标准方程.
(2)设出直线的方程,联立直线
的方程和椭圆方程,写出韦达定理,由此计算出
为定值.
(3)设出直线的方程,联立直线
的方程和椭圆方程,写出韦达定理,根据弦长公式和点到直线的距离公式,求得
面积的表达式,利用换元法,结合基本不等式求得面积的最大值,以及此时直线
的方程.
(1)由题意知有,且
,解得
,∴
.
(2)证明:设直线的方程为
,
设,
,
,
则由可得
,即
,
∴,∴
,
,
,
∴直线的斜率与
的斜率的乘积
为定值.
(3)点,
,
由可得
,
,解得
,
,
,
∴
.
设,
,
,
,
当时,
取得最大值
.
此时,即
,
所以直线方程是.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
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购买了轿车(辆) | 购买了 | |
| ||
|
表
图
(I)根据表,是否有
的把握认为年龄与购买的汽车车型有关?
(II)图给出的是
名车主上一年汽车的行驶里程,求这
名车主上一年汽车的平均行驶里程(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(III)用表中的频率估计概率,随机调查
名
岁以下车主,设其中购买了轿车的人数为
,求
的分布列与数学期望.
附:,
.