Question

已知函数f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）．
（1）若a=1，函数f（x）的图象能否总在直线y=b的下方？说明理由；
（2）若函数f（x）在[0，2]上是增函数，x=2是方程f（x）=0的一个根，求证f（1）≤-2；
（3）若函数f（x）图象上任意不同的两点连线斜率小于1，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）三次多项式函数的单调性问题，先求导，得到函数单调增区间，问题得以解决
（2）由f（x）在[0，2]上是增函数可求出a的范围，x=2是方程f（x）=0的一个根，找出a和b的关系，可证．
（3）设P（x，f（x）），Q（y，f（y））是f（x）图象上的两个不同点，则

f(x)-f(y)

x-y

＜1，即x²+（y-a）x+（y²-ay+1）＞0 恒成立．由△＜0 得到 3y²-2ay-a²+4＞0恒成立，故此式的判别式△′＜0，解不等式求得a的范围．

解答： 解：∵f（x）=-x³+x²+b（a、b∈R）
∴f'（x）=-3x²+2x=-x（3x-2）．
令f'（x）=0得x₁=0，x₂=

2

3

，
∴f（x）的单调增区间为：（0，

2

3

），若a=1，
则x∈（0，

2

3

）时，f（x）＞f（0）=b
∴f（x）的图象不可能总在直线y=b的下方．
（3）若函数f（x）在[0，2]上是增函数，则x∈[0，2]时f'（x）=-3x²+2ax≥0恒成立．
即a≥

3

2

x对x∈[0，2]恒成立，
∴a≥3，
又f（2）=0，
∴-8+4a=b+0得b=8-4a，
∴f（1）=-1+a+b=7-3a≤-2．
（3）设P（x，f（x）），Q（y，f（y））是f（x）图象上的两个不同点，则

f(x)-f(y)

x-y

＜1，
∴

(-x3+ax2+b)(-y3+ay2+b)

x-y

＜1，
∴-（x²+y²+xy）+a（x+y）＜1，
∴x²+（y-a）x+（y²-ay+1）＞0 恒成立，从而△＜0，
∴3y²-2ay-a²+4＞0，
从而此式的判别式△′＜0，
∴a²＜3，
解得-

3

＜a＜

3

，
∴a∈（-

3

，

3

）．

点评：本题考查函数的恒成立问题，利用导数研究函数的单调性，直线的斜率，把握好恒成立的条件是解题的关键和难点．