Question

已知关于x的不等式|3x-1|＜a有唯一的整数解，则方程（1-|2x-1|）a^x=1实数根的个数为

1. A.
   0
2. B.
   1
3. C.
   2
4. D.
   3

Answer 1

C
分析：先根据关于x的不等式|3x-1|＜a有唯一的整数解求出a的取值范围，然后将方程（1-|2x-1|）a^x=1实数根的个数可转化成y=1-|2x-1|与y=a^-x图象的交点，结合图形可得结论．
解答：当a≤0时，不等式|3x-1|＜a没有整数解
当a＞0时，解得
在附近的整数有0与1，当包含1时有两个整数，不合题意
∴不等式的整数解为0，则，
解得1＜a＜2
方程（1-|2x-1|）a^x=1实数根的个数可转化成y=1-|2x-1|与y=a^-x图象的交点
分别画出函数y=1-|2x-1|与y=a^-x的图象
根据可知有两个交点，则方程（1-|2x-1|）a^x=1实数根有2个
故选C．
点评：本题主要考查了根的存在性及根的个数判断，解决此类问题常常转化成两函数图象的交点问题，同时考查了数形结合的思想，属于中档题．