题目内容
15、给出命题：
（1）在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行；
（2）设l，m是不同的直线，α是一个平面，若l⊥α，l∥m，则m⊥α；
（3）已知α，β表示两个不同平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件；
（4）若点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P在该三角形所在平面内的射影是该三角形的外心；
（5）a，b是两条异面直线，P为空间一点，过P总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一个平行．
其中正确的命题是
（1）在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行；
（2）设l，m是不同的直线，α是一个平面，若l⊥α，l∥m，则m⊥α；
（3）已知α，β表示两个不同平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件；
（4）若点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P在该三角形所在平面内的射影是该三角形的外心；
（5）a，b是两条异面直线，P为空间一点，过P总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一个平行．
其中正确的命题是
（2）（4）
（只填序号）．分析：（1）在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行，可由面面的位置关系证明；
（2）设l，m是不同的直线，α是一个平面，若l⊥α，l∥m，则m⊥α，可由线面垂直的条件证明；
（3）已知α，β表示两个不同平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件，可由面面垂直的性质定理进行判断；
（4）若点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P在该三角形所在平面内的射影是该三角形的外心，可由投影的概念结合外心的定义进行判断；
（5）a，b是两条异面直线，P为空间一点，过P总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一个平行，可由线面位置关系判断．
（2）设l，m是不同的直线，α是一个平面，若l⊥α，l∥m，则m⊥α，可由线面垂直的条件证明；
（3）已知α，β表示两个不同平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件，可由面面垂直的性质定理进行判断；
（4）若点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P在该三角形所在平面内的射影是该三角形的外心，可由投影的概念结合外心的定义进行判断；
（5）a，b是两条异面直线，P为空间一点，过P总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一个平行，可由线面位置关系判断．
解答：解：（1）在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行，不正确，两者可能相交；
（2）设l，m是不同的直线，α是一个平面，若l⊥α，l∥m，则m⊥α，此是一个正确命题，两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一个也垂直于这个平面；
（3）已知α，β表示两个不同平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件，不正确，因为两面垂直，一个面中的线与另一个面的关系是平行、相交，在另一个面内都有可能；
（4）若点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P在该三角形所在平面内的射影是该三角形的外心，此命题正确，由三侧棱在底面上的投影相等，符合外心的定义；
（5）a，b是两条异面直线，P为空间一点，过P总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一个平行，不一定正确，这样的平面当垂直于一线的平面恰好过另一线时，则不成立．
故答案为：（2）（4）
（2）设l，m是不同的直线，α是一个平面，若l⊥α，l∥m，则m⊥α，此是一个正确命题，两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一个也垂直于这个平面；
（3）已知α，β表示两个不同平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件，不正确，因为两面垂直，一个面中的线与另一个面的关系是平行、相交，在另一个面内都有可能；
（4）若点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P在该三角形所在平面内的射影是该三角形的外心，此命题正确，由三侧棱在底面上的投影相等，符合外心的定义；
（5）a，b是两条异面直线，P为空间一点，过P总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一个平行，不一定正确，这样的平面当垂直于一线的平面恰好过另一线时，则不成立．
故答案为：（2）（4）
点评：本题考查空间中直线与平面之间的位置关系的判断，重点考查了对空间中线面位置的立体感知能力，属于基本题型．
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