题目内容

已知在平面直角坐标系xoy中，向量
j
=(0，1)，△OFP的面积为2
3
，且
OF
•
FP
=t，
OM
=
3
3
OP
+
j
．
（I）设4＜t＜4
3
，求向量
OF
与
FP
的夹角θ的取值范围；
（II）设以原点O为中心，对称轴在坐标轴上，以F为右焦点的椭圆经过点M，且|
OF
|=c，t=(
3
-1)c2，当|
OP
|取最小值时，求椭圆的方程．
分析：（1）由2
3
=
1
2
|
OF
|•|FP|•sinθ，得|
OF
|•|
FP
|=
4
3
sinθ
，由cosθ=
OF
•
FP
|
OF
|•|
FP
|
=
tsinθ
4
3
，得tanθ=
4
3
t
.由此可求出夹角θ的取值范围．
（2）设P(x0，y0)，则
FP
(x0-c，y0)，
OF
=(c，0).由题设条件导出|
OP
|=
x
2
0
+
y
2
0
=
(
3
c)2+(
4
3
c
)2
≥
2
3
c•
4
3
c
=2
6
，由此可求出椭圆的方程．
解答：解：（1）由2
3
=
1
2
|
OF
|•|FP|•sinθ，得|
OF
|•|
FP
|=
4
3
sinθ
，
由cosθ=
OF
•
FP
|
OF
|•|
FP
|
=
tsinθ
4
3
，得tanθ=
4
3
t
.
∵4＜t＜4
3
∴1＜tanθ＜
3
∵θ∈[0，π]
∴夹角θ的取值范围是（
π
4
，
π
3
）
（2）设P(x0，y0)，则
FP
(x0-c，y0)，
OF
=(c，0).∴
OF
•
FP
=(x0-c，y0)•(c，0)=(x0-c)c=t=(
3
-1)c2∴x0=
3
c
S△OFP=
1
2
|
OF
|•|y0|=2
3
∴y0=±
4
3
c

∴|
OP
|=
x
2
0
+
y
2
0
=
(
3
c)2+(
4
3
c
)2
≥
2
3
c•
4
3
c
=2
6

∴当且仅当
3
c=
4
3
c
，即c=2时，|
OP
|取最小值2
6
，此时，
OP
=(2
3
，±2
3
)
∴
OM
=
3
3
(2
3
，2
3
)+(0，1)=(2，3)
或
OM
=
3
3
(2
3
，-2
3
)+(0，1)=(2，-1)
椭圆长轴2a=
(2-2)2+(3-0)2
+
(2+2)2+(3-0)2
=8∴a=4，b2=12
或2a=
(2-2)2+(-1-0)2
+
(2+2)2+(-1-0)2
=1+
17
∴a=
1+
17
2
，b2=
1+
17
2

故所求椭圆方程为
x2
16
+
y2
12
=1．
或
x2
9+
17
2
+
y2
1+
17
2
=1
点评：本题综合考查椭圆的性质及其应用，解题要认真审题，仔细解答．
练习册系列答案
相关题目
选修4-4：坐标系与参数方程
已知在平面直角坐标系xOy内，点P（x，y）在曲线C：
x=1+cosθ
y=sinθ
(θ为参数，θ∈R）上运动．以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ+
π
4
)=0．
（Ⅰ）写出曲线C的标准方程和直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A、B两点，点M在曲线C上移动，试求△ABM面积的最大值，并求此时M点的坐标．
已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F(-
3
，0)，且过点D（2，0）．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设点A(1，
1
2
)，若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程．
（坐标系与参数方程选做题）已知在平面直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为
x=
3
+3cosθ
y=1+3sinθ
，（θ为参数），以ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ+
π
6
)=0，则圆C截直线l所得的弦长为
4
2
4
2
．
已知在平面直角坐标系中，O（0，0），A（1，-2），B（1，1），C（2，-1），动点M（x，y）满足条件
-2≤
OM
•
OA
≤2
1≤
OM
•
OB
≤2
，则z=
OM
•
OC
的最大值为（　　）
A、-1B、0C、3D、4
已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F(-
3
，0)，右顶点为D（2，0），设点A(1，
1
2
)．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；
（Ⅲ）是否存在直线l，满足l过原点O并且交椭圆于点B、C，使得△ABC面积为1？如果存在，写出l的方程；如果不存在，请说明理由．

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