题目内容

已知双曲线的离心率为e，左、右两焦点分别为F1、F2，焦距为2c，抛物线C以F2为顶点，F1为焦点，点P为抛物线与双曲线右支上的一个交点，若a|PF2|+c|PF1|=8a2，则e的值为（ ）
A．
B．3
C．
D．
【答案】分析：作出图象，结合图象知抛物线准线的方程为x=3c，根据抛物线的定义可得|PF1|=|PR|=3c-x，根据双曲线的第二定义可得 =e，由已知a|PF2|+c|PF1|=8a2，可得e=．
解答：解：如右图所示，设点P的坐标为（x，y），由抛物线以F2为顶点，F1为焦点，可得其准线的方程为x=3c，
根据抛物线的定义可得|PF1|=|PR|=3c-x，又由点P为双曲线上的点，
根据双曲线的第二定义可得 =e，即得|PF2|=ex-a，
由已知a|PF2|+c|PF1|=8a2，可得-a2+3c2=8a2，即e2=3，由e＞1可得e=，
故选A．
点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要结合题设条件，作出图象，数形结合进行求解．
练习册系列答案
相关题目
已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4，0），（4，0），则双曲线方程为（　　）
A、
x2
4
-
y2
12
=1
B、
x2
12
-
y2
4
=1
C、
x2
10
-
y2
6
=1
D、
x2
6
-
y2
10
=1
已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且∠F1PF2=60°，S△PF1F2=12
3
．该双曲线的标准方程为
x2
4
-
y2
12
=1
x2
4
-
y2
12
=1
．
已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4，0），（4，0），则双曲线方程为
x2
4
-
y2
12
=1
x2
4
-
y2
12
=1
．

（本小题满分12分）

已知双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于，过右焦点的直线

 

交双曲线于、两点，为左焦点，

（Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）若的面积等于，求直线的方程．

 

已知双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，点P的坐标为（0，－2），过P的直线l与双曲线C交于不同两点M、N.  

（1）求双曲线C的方程；

（2）设（O为坐标原点），求t的取值范围

 

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