题目内容
【题目】已知函数.
(1)若函数在
上存在单调增区间,求实数
的取值范围;
(2)若,证明:对于
,总有
【答案】(1);(2)详见解析.
【解析】
(1)求出的导数,将其转化为在区间
内存在区间使得即
在
上能成立,根据函数
的最小值即可确定
的范围;(2)问题转化为证明
,在
上恒成立,构造函数
,
,求出
的导数,判断出函数的单调性,从而证出结论.
(1)由题,
因为函数在
存在单调增区间,
故在区间内存在区间使得
成立,
即能成立,
即在
上能成立,
而在
的最小值是
,
故;
(2)若,则
,
,
而,
又因为,所以
,
要证原不等式成立,只要证,
只要证,
只要证,在
上恒成立,
首先构造函数,
,
因为,
可得,在时,
,即
在
上是减函数,
在时,
,即
在
上是增函数,
所以,在上,
,所以
,
所以,,等号成立当且仅当
时,
其次构造函数,
,
因为,
可见时,
,即
在
上是减函数,
时,
,即
在
上是增函数,
所以在上,
,所以
,
所以,,等号成立当且仅当
时.
综上所述,,
因为取等条件并不一致,
所以,在
上恒成立,
所以,总有
成立.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目
【题目】某工厂今年前5个月某种产品的产量(单位:万件)的数据如下表:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 4 | 5 | 4 | 6 | 6 |
(1)若从这5组数据中随机抽出2组,求抽出的2组数据恰好是不相邻两个月的数据的概率;
(2)求出关于
的线性回归方程
,并估计今年6月份该种产品的产量.
参考公式:.