Question

（2012•福建）函数f（x）在[a，b]上有定义，若对任意x₁，x₂∈[a，b]，有f(

x1+x2

2

) ≤

1

2

[f(x1) +f(x2) ]则称f（x）在[a，b]上具有性质P．设f（x）在[1，3]上具有性质P，现给出如下命题：
①f（x）在[1，3]上的图象是连续不断的；
②f（x²）在[1，

3

]上具有性质P；
③若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1，3]；
④对任意x₁，x₂，x₃，x₄∈[1，3]，有f(

x1+x2+x3+x4

4

) ≤

1

4

[f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+f（x₄）]
其中真命题的序号是（　　）

Answer 1

分析：根据题设条件，分别举出反例，说明①和②都是错误的；同时证明③和④是正确的．

解答：解：在①中，反例：f（x）=

( 1 2 )x，1≤x＜3 2，x=3

在[1，3]上满足性质P，
但f（x）在[1，3]上不是连续函数，故①不成立；
在②中，反例：f（x）=-x在[1，3]上满足性质P，但f（x²）=-x²在[1，

3

]上不满足性质P，
故②不成立；
在③中：在[1，3]上，f（2）=f（

x+(4-x)

2

）≤

1

2

[f(x)+f(4-x)]，
∴

f(x)+f(4-x)≥2 f(x)≤f(x)max=f(2)=1 f(4-x)≤f(x)max=f(2)=1

，
故f（x）=1，
∴对任意的x₁，x₂∈[1，3]，f（x）=1，
故③成立；
在④中，对任意x₁，x₂，x₃，x₄∈[1，3]，
有f(

x1+x2+x3+x4

4

)=f(

1 2 (x1+x2)+ 1 2 (x3+x4)

2

)
≤

1

2

[f(

x1+x2

2

)+f(

x3+x4

2

 )]
≤

1

2

[

1

2

(f(x1 )+f(x2))+

1

2

(f(x3)+f(x4))]
=

1

4

[f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+f（x₄）]，

∴f(

x1+x2+x3+x4

4

) ≤

1

4

[f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+f（x₄）]，
故④成立．
故选D．

点评：本题考查的知识点为函数定义的理解，说明一个结论错误时，只需举出反例即可．说明一个结论正确时，要证明对所有的情况都成立．