题目内容
【题目】已知函数
．
(Ⅰ)当
时，讨论函数
的单调区间；
(Ⅱ)若对任意的
和
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)首先求得导函数，然后结合导函数的解析式分类讨论函数的单调性即可； (Ⅱ)将原问题进行等价转化为
，
，
恒成立，然后构造新函数，结合函数的性质确定实数
的取值范围即可．
解：(Ⅰ)当
时，
，
当
时，
在
上恒成立，函数
在上单调递减；
当
时，由得：
；由
得：
．
∴当时，函数的单调递减区间是，无单调递增区间：
当时，函数的单调递减区间是
，函数的单调递增区间是
．
(Ⅱ)对任意的
和
，
恒成立等价于：
，，恒成立．
即，，恒成立．
令：
，，，
则
得
，
由此可得：
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
∴当
时，
，即
又∵，
∴实数的取值范围是：
．
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