Question

（本小题满分12分）
如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，，是线段的中点.

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若垂直于平面且，求平面和平面所成的角（锐角）的余弦值.

Answer 1

（I）证明：见解析；（II）平面和平面ABCD所成角（锐角）的余弦值为.

试题分析：（I）由四边形ABCD是等腰梯形，且，
可得且.
连接，可得，
从而得到四边形为平行四边形，
进一步可得平面.
（II）本题解答可有两种思路，一是向量法，二是几何法.
思路一：连接AC，MC，可得，
得到.以C为坐标原点，建立直角坐标系.
利用.求角的余弦值.
思路二：按照“一作，二证，三计算”.
过C向AB引垂线交AB于N，连接，
由平面ABCD，可得，
得到为二面角的平面角，
利用直角三角形中的边角关系计算平面和平面ABCD所成角（锐角）的余弦值.

试题解析：（I）证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，
且，
所以，又由M是AB的中点，
因此且.
连接，
在四棱柱中，
因为，
可得，
所以，四边形为平行四边形，
因此，
又平面，平面，
所以平面.

（II）解法一：
连接AC，MC，
由（I）知CD//AM且CD=AM，
所以四边形AMCD为平行四边形，
可得，
由题意，
所以为正三角形，
因此
因此.
以C为坐标原点，建立直角坐标系.

所以.
因此，
所以，，
设平面的一个法向量，
由，得，
可得平面的一个法向量.
又为平面ABCD的一个法向量，
因此.
所以平面和平面ABCD所成角（锐角）的余弦值为.
解法二：
由（I）知，平面平面ABCD=AB，
过C向AB引垂线交AB于N，连接，
由平面ABCD，可得，
因此为二面角的平面角，
在中，，
可得，
所以，
在中，，
所以平面和平面ABCD所成角（锐角）的余弦值为.