Question

9．下列四个函数中，在区间（0，$\frac{1}{4}$）上为减函数的是（　　）

• A． y=x（$\frac{1}{2}$）^x
• B． y=-（$\frac{1}{2}$）^x
• C． y=xlog₂^x
• D． y=x${\;}^{\frac{1}{3}}$

Answer 1

分析 A，C求函数的导数，利用导数研究函数的单调性，B，D利用指数函数和幂函数的单调性的性质进行判断．

解答 解：A．y=x（$\frac{1}{2}$）^x 求导得y′=（$\frac{1}{2}$）^x-x（$\frac{1}{2}$）^x•ln2=（$\frac{1}{2}$）^x（1-xln2），对于x∈（0，$\frac{1}{4}$），y′＞0，
故y=x（$\frac{1}{2}$）^x在区间（0，$\frac{1}{4}$）上为增函数，
B．y=-（$\frac{1}{2}$）^x在（0，$\frac{1}{4}$）上是增函数，
C．函数的导数y′=log₂^x+$\frac{x}{xln2}$=log₂^x+$\frac{1}{ln2}$=log₂^x+log₂^e=log₂^ex，
∵0＜x＜$\frac{1}{4}$，
∴0＜ex＜$\frac{1}{4}$e＜1，此时y′＜0，
即在区间（0，$\frac{1}{4}$）上为减函数，满足条件．
D．y=x${\;}^{\frac{1}{3}}$在（0，$\frac{1}{4}$）上为增函数，
故选：C

点评 本题主要考查函数单调性的判断，要求熟练掌握掌握常见函数的单调性，对应复杂函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．