题目内容
【题目】如图,抛物线的准线为
,取过焦点
且平行于
轴的直线与抛物线交于不同的两点
,过
作圆心为
的圆,使抛物线上其余点均在圆外,且
.
(Ⅰ)求抛物线和圆
的方程;
(Ⅱ)过点作直线
与抛物线
和圆
依次交于
,求
的最小值.
【答案】(1) ,
;(2)16.
【解析】试题分析:(1)通过平面几何性质及圆锥曲线定义求轨迹方程;(2)借助勾股定理及弦长公式表示目标,然后利用二次函数求最值.
试题解析:
(Ⅰ) 因为抛物线的准线为
;
所以解得
,所以抛物线
的方程为
.
当时,由
得:
,不妨设
在左侧,则
,
由题意设圆的方程为:
,
由且
知:
,
∴是等腰直角三角形且
,
∴ ,
,则
,
∴ 圆的方程为:
.
(Ⅱ)由题意知直线的斜率存在,设直线
的方程为:
,
圆心到直线
的距离为:
,
∴.
由得:
,
设,由抛物线定义有:
,
∴,
设,则:
且
,
∴ 当即
时,
的最小值为
.
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