题目内容
【题目】如图所示,椭圆的离心率为
,过点
作直线
交椭圆于不同两点
,
.
(1)求椭园的方程;
(2)①设直线的斜率为,求出与直线
平行且与椭圆相切的直线方程(用
表示);
②若,
为椭圆上的动点,求四边形
面积的最大值.
【答案】(1);(2)①
;②
.
【解析】
(1)由求出
即可
(2)①设切线方程为,然后与椭圆的方程联立消元,利用
得出
即可
②要使得四边形的面积最大,需满足
,
两点到直线
的距离之和最大,即两条切线间的距离
最大,然后算出弦长
,然后可得四边形
的面积
,即可得出答案.
(1)椭圆中,
,
,
椭圆的离心率为
,解得
,
椭圆的方程为
.
(2)①设切线方程为,
代入,可得
,
由,可得
,故切线方程为
.
②要使得四边形的面积最大,需满足
,
两点到直线
的距离之和最大,
即两条切线间的距离最大.
设,
,直线
的方程为
,
联立整理得
,
则,
,
故,
故四边形的面积
,
当且仅当,且
,
或
,
时等号成立.
故所求最大值为.
![](http://thumb.zyjl.cn/images/loading.gif)
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