Question

已知a＞0且a≠1，若函数在区间[3，4]上是单调递减函数，则实数a的取值范围为

1. A.
   
2. B.
   （1，+∞）
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

A
分析：令g（x）=ax²-x，则当a＞1时，g（x）在[3，4]上单调递减，且g（x）＞0，利用二次函数的性质求得实数a的取值范围．当0＜a＜1时，g（x）在[3，4]上单调递增，且g（x）＞0，再利用二次函数的性质求得实数a的取值范围，最后把这两个a的取值范围取并集，即得所求．
解答：令g（x）=ax²-x（a＞0，且a≠1），则当a＞1时，g（x）在[3，4]上单调递减，且g（x）＞0．
∴4≤，且 g（4）＞0． 解得 a无解．
则当0＜a＜1时，g（x）在[3，4]上单调递增，且g（x）＞0．
∴≤3，且 g（3）＞0． 解得 a＞，∴1＞a＞．
综上可得，实数a的取值范围为，
故选A．
点评：本题主要考查复合函数的单调性，对数函数的单调性和特殊点，二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想，属中档题．