题目内容

4.已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为$\frac{1}{2}$,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=6.

分析 利用椭圆的离心率以及抛物线的焦点坐标,求出椭圆的半长轴,然后求解抛物线的准线方程,求出A,B坐标,则|AB|可求.

解答 解:椭圆E的中心在坐标原点,离心率为$\frac{1}{2}$,E的右焦点(c,0)与抛物线C:y2=8x的焦点(2,0)重合,
可得c=2,a=4,b2=12,椭圆的标准方程为:$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$,
抛物线的准线方程为:x=-2,
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$,解得y=±3,
∴A(-2,3),B(-2,-3).
则|AB|=3-(-3)=6.
故答案为:6.

点评 本题考查抛物线以及椭圆的简单性质的应用,考查计算能力,是基础题.

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