题目内容
已知四棱锥P-ABCD中，P在底面的射影O是四边形ABCD内切圆的圆心，给定的四个命题：
①各侧面和底面所成的二面角相等；
②点O到各侧面的距离相等；
③侧棱PA=PB=PC=PD；
④△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的面积之比是AB：BC：CD：DA．
其中正确的是（ ）
①各侧面和底面所成的二面角相等；
②点O到各侧面的距离相等；
③侧棱PA=PB=PC=PD；
④△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的面积之比是AB：BC：CD：DA．
其中正确的是（ ）
分析：根据三垂线定理，过O作底面四边形各边的垂线，连接顶点与各垂足，可得二面角的平面角与各侧面的垂面，然后在Rt△POM中解决即可．
解答：
解：根据三垂线定理作各侧面与底面所成二面角的平面角，
∵P在底面的射影O到四边形各边的距离相等，∴二面角的正切值都是
，故①正确；
在△POM中，过O作ON⊥PM于N，∵平面POM⊥侧面，所以ON为O到侧面的距离，∴O到各侧面的距离相等，故②正确；
∵O到各顶点的距离不一定相等，所以侧棱不一定相等，故③不正确；
∵S△PAB=
×AB×PM（斜高），∵斜高都相等，∴面积比=底边长之比，故④正确．
故选C
解：根据三垂线定理作各侧面与底面所成二面角的平面角，∵P在底面的射影O到四边形各边的距离相等，∴二面角的正切值都是
| |OP| |
| R |
在△POM中，过O作ON⊥PM于N，∵平面POM⊥侧面，所以ON为O到侧面的距离，∴O到各侧面的距离相等，故②正确；
∵O到各顶点的距离不一定相等，所以侧棱不一定相等，故③不正确；
∵S△PAB=
| 1 |
| 2 |
故选C
点评：本题借助考查命题的真假判断，考查空间中二面角的求法．根据二面角的定义可用三垂线定理作二面角的平面角．
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