Question

已知曲线C的方程为kx²+（4-k）y²=k+1（k∈R）．
（1）若曲线C是椭圆，求k的取值范围；
（2）若曲线C是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程；
（3）满足（2）的双曲线上是否存在两点P、Q关于直线l：y=x-1对称，若存在，求出过P、Q的直线方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）当k=0或k=-1或k=4时，C表示直线；
当k≠0且k≠-1且k≠4时方程为
=1，①
方程①表示椭圆的充要条件是
即是0＜k＜2或2＜k＜4．
（2）方程①表示双曲线的充要条件是•＜0，
即k＜-1或-1＜k＜0或k＞4．
①当k＜-1或k＞4时，双曲线焦点在x轴上，
a²=，b²=，
其一条渐近线的斜率为==，得k=6．
②当-1＜k＜0时，双曲线焦点在y轴上，
a²=，b²=-，
其一条渐近线的斜率为==，得k=6（舍），
综上得双曲线方程为-=1．
（3）若存在，设直线PQ的方程为：y=-x+m．
由，
消去y，
得4x²+4mx-2m²-7=0．②
设P、Q的中点是M（x₀，y₀），则
M在直线l上，
∴=--1，解得m=-，方程②的△＞0，
∴存在满足条件的P、Q，直线PQ的方程为y=-x-．
分析：（1）当k=0或k=-1或k=4时，C表示直线；当k≠0且k≠-1且k≠4时方程为=1，由此能求出若曲线C是椭圆，k的取值范围．
（2）曲线C是双曲线的充要条件是•＜0，即k＜-1或-1＜k＜0或k＞4．再由有一条渐近线的倾斜角是60°，能求出双曲线方程．
（3）若存在，设直线PQ的方程为：y=-x+m．由，得4x²+4mx-2m²-7=0．由此能推导出存在满足条件的P、Q，直线PQ的方程为y=-x-．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．