Question

已知曲线C的方程为kx²+（4-k）y²=k+1（k∈R）．
（1）若曲线C是椭圆，求k的取值范围；
（2）若曲线C是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程；
（3）满足（2）的双曲线上是否存在两点P、Q关于直线l：y=x-1对称，若存在，求出过P、Q的直线方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）当k=0或k=-1或k=4时，C表示直线；当k≠0且k≠-1且k≠4时方程为

x2

k+1 k

+

y2

k+1 4-k

=1，由此能求出若曲线C是椭圆，k的取值范围．
（2）曲线C是双曲线的充要条件是

k+1

k

•

k+1

4-k

＜0，即k＜-1或-1＜k＜0或k＞4．再由有一条渐近线的倾斜角是60°，能求出双曲线方程．
（3）若存在，设直线PQ的方程为：y=-x+m．由

y=-x+m 6x2-2y2

=7，得4x²+4mx-2m²-7=0．由此能推导出存在满足条件的P、Q，直线PQ的方程为y=-x-

1

2

．

解答：解：（1）当k=0或k=-1或k=4时，C表示直线；
当k≠0且k≠-1且k≠4时方程为

x2

k+1 k

+

y2

k+1 4-k

=1，①
方程①表示椭圆的充要条件是

k+1 k ＞0  k+1 4-k ＞0 k+1 k ≠ k+1 4-k

即是0＜k＜2或2＜k＜4．
（2）方程①表示双曲线的充要条件是

k+1

k

•

k+1

4-k

＜0，
即k＜-1或-1＜k＜0或k＞4．
①当k＜-1或k＞4时，双曲线焦点在x轴上，
a²=

k+1

k

，b²=

k+1

k-4

，
其一条渐近线的斜率为

b

a

=

k+1 k-4

k+1 k

=

3

，得k=6．
②当-1＜k＜0时，双曲线焦点在y轴上，
a²=

k+1

4-k

，b²=-

k+1

k

，
其一条渐近线的斜率为

a

b

=

- k+1 k

k+1 4-k

=

3

，得k=6（舍），
综上得双曲线方程为

x2

7 6

-

y2

7 2

=1．
（3）若存在，设直线PQ的方程为：y=-x+m．
由

y=-x+m 6x2-2y2

=7，
消去y，
得4x²+4mx-2m²-7=0．②
设P、Q的中点是M（x₀，y₀），则

x0=- m 2 y0= 3m 2

M在直线l上，
∴

3m

2

=-

m

2

-1，解得m=-

1

2

，方程②的△＞0，
∴存在满足条件的P、Q，直线PQ的方程为y=-x-

1

2

．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．