Question

已知曲线C的方程为y²=4x（x＞0），曲线E是以F₁（-1，0）、F₂（1，0）为焦点的椭圆，点P为曲线C与曲线E在第一象限的交点，且|PF2|=

5

3

．
（1）求曲线E的标准方程；
（2）直线l与椭圆E相交于A，B两点，若AB的中点M在曲线C上，求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由题意得c，由|PF2|=

5

3

及抛物线定义可得P点横坐标，代入抛物线方程得纵坐标，由椭圆定义可得a，由b²=a²-c²可得b；．
（2）设直线l与椭圆E交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A，B的中点F₂的坐标为（x₀，y₀），设直线方程为y=kx+m（k≠0，m≠0）与

x2

4

+

y2

3

=1联立，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，由△＞0，得4k²-m²+3＞0①，由韦达定理得AB的中点（

-4km

3+4k2

，

3m

3+4k2

），代入曲线C的方程为y²=4x（x＞0），得9m=-16k（3+4k²），再与①联立能求出直线l的斜率k的取值范围．

解答：解：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
依题意，c=1，|PF2|=

5

3

，利用抛物线的定义可得x_P-（-1）=

5

3

，解得xP=

2

3

，
∴P点的坐标为(

2

3

 ， 

2 6

3

)，所以|PF1|=

7

3

，
由椭圆定义，得2a=|PF1|+|PF2|=

7

3

+

5

3

=4，a=2．
∴b²=a²-c²=3，
所以曲线E的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）设直线l与椭圆E的交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A，B的中点M的坐标为（x₀，y₀），
设直线l的方程为y=kx+m（k≠0，m≠0），
与

x2

4

+

y2

3

=1联立，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
由△＞0得4k²-m²+3＞0①，
由韦达定理得，x₁+x₂=

-8km

3+4k2

，x1x2=

4m2-12

3+4k2

，
则x₀=

-4km

3+4k2

，y₀=kx₀+m=

3m

3+4k2

，
将中点（

-4km

3+4k2

，

3m

3+4k2

）代入曲线C的方程为y²=4x（x＞0），
整理，得9m=-16k（3+4k²），②
将②代入①得16²k²（3+4k²）＜81，
令t=4k²（t＞0），
则64t²+192t-81＜0，解得0＜t＜

3

8

，
∴-

6

8

＜k＜

6

8

．
所以直线l的斜率k的取值范围为-

6

8

＜k＜

6

8

．

点评：本题考查曲线的标准方程的求法，考查直线的斜率的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．