Question

已知a＞0且a≠1，数列{a_n}是首项为a，公比也为a的等比数列，设b_n=a_n•1ga_n，问是否存在a，对任意自然数n∈N^*，数列{b_n}中的每一项总小于它后面所有的项？若存在，求出a的取值范围；若不存在，则说明理由．

Answer 1

分析：由{a_n}是首项为a，公比为a的等比数列，知an=an，b_n=a_n•1ga_n=naⁿlga，故bn+1-bn=an[(n+1)a-n]lga．当a＞1时，lga＞0，aⁿ＞0，（n+1）a-n＞（n+1）-n＞0，bn＜bn+1(n∈N*)；当0＜a＜1时，lga＜0，当a＜

n

n+1

（n∈N^*）时，b_n＜b_n+1（n∈N^*），当n∈N^*时，n+1≤2n，由此能导出当a的取值为（0，

1

2

）∪（1，+∞）时，使得数列{b_n}中的任一项都小于它后面各项．

解答：解：∵{a_n}是首项为a，公比为a的等比数列，
∴an=an，b_n=a_n•1ga_n=naⁿlga，
∴bn+1=(n+1)an+1 lga，
∴bn+1-bn=an[(n+1)a-n]lga．
（1）当a＞1时，lga＞0，aⁿ＞0，（n+1）a-n＞（n+1）-n＞0，
∴bn＜bn+1(n∈N*)．
（2）当0＜a＜1时，lga＜0，
当且仅当（n+1）a-n＜0（n∈N^*）时，
bn＜bn+1(n∈N*)，
即当a＜

n

n+1

（n∈N^*）时，b_n＜b_n+1（n∈N^*），
而当n∈N^*时，n+1≤2n，即

n

n+1

≥

1

2

，
∴只要取a＜

1

2

．
综上所述，当a的取值为（0，

1

2

）∪（1，+∞）时，
使得数列{b_n}中的任一项都小于它后面各项．

点评：本题考查数列与不等式的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．