Question

10．求函数f（x）=4-2x²+x$\sqrt{1-{x}^{2}}$的最大值与最小值．

Answer 1

分析 由1-x²≥0，可得-1≤x≤1，设x=sinα（-$\frac{π}{2}$≤α≤$\frac{π}{2}$），运用二倍角公式和两角和的正弦公式，及正弦函数的值域，即可得到所求最值．

解答 解：由1-x²≥0，可得-1≤x≤1，
设x=sinα（-$\frac{π}{2}$≤α≤$\frac{π}{2}$），
即有y=4-2sin²α+sinαcosα
=3+cos2α+$\frac{1}{2}$sin2α=3+$\frac{\sqrt{5}}{2}$sin（2α+θ）（θ为锐角，tanθ=2）
当2α+θ=$\frac{π}{2}$时，函数取得最大值3+$\frac{\sqrt{5}}{2}$；
当2α+θ=-$\frac{π}{2}$时，函数取得最大值3-$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用三角换元和二倍角公式、两角和的正弦公式，以及正弦函数的值域，属于中档题．