题目内容
20.如图,已知四边形ABCD中AB∥CD,AD⊥AB,BP⊥AC,BP=PC,CD>AB,则经过某种翻折后以下线段可能会相互重合的是( )A. | AB与AD | B. | AB与BC | C. | BD与BC | D. | AD与AP |
分析 设AB=a,∠CAB=θ,则AP=acosθ,PC=BP=asinθ,AC=a(cosθ+sinθ),AD=ACsinθ=a(cosθ+sinθ)sinθ,CD=ACcosθ=a(cosθ+sinθ)cosθ,因为CD>AB,故cos2θ+sinθcosθ>1,即$sin(2θ+\frac{π}{4})>\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,即$\frac{π}{4}<2θ+\frac{π}{4}<\frac{3π}{4}$,故$0<θ<\frac{π}{4}$.再对四个选项进行判断,即可得出结论.
解答 解:设AB=a,∠CAB=θ,则AP=acosθ,PC=BP=asinθ,AC=a(cosθ+sinθ),AD=ACsinθ=a(cosθ+sinθ)sinθ,CD=ACcosθ=a(cosθ+sinθ)cosθ,
因为CD>AB,故cos2θ+sinθcosθ>1,
即$sin(2θ+\frac{π}{4})>\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,即$\frac{π}{4}<2θ+\frac{π}{4}<\frac{3π}{4}$,故$0<θ<\frac{π}{4}$.
A选项:假设AB=AD,则有:sin2θ+sinθcosθ=1,即$sin(2θ-\frac{π}{4})=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,无解.
B选项:假设AB=BC,则有:$\sqrt{2}sinθ=1$,即$sinθ=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,无解.
C选项:假设BD=BC,则有:$\sqrt{2}sinθ=\sqrt{1+{{sin}^2}θ{{(sinθ+cosθ)}^2}}$,即1+2sin3θcosθ=sin2θ,无解.
D选项:假设AD=AP,则有:sin2θ+sinθcosθ=cosθ,令$f(θ)={sin^2}θ+sinθcosθ-cosθ=\frac{1-cos2θ}{2}+\frac{sin2θ}{2}-cosθ$,则f′(θ)=sin2θ+cos2θ+sinθ>0,又f(0)=-1<0,$f(\frac{π}{4})=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}>0$,故必存在θ0使得:f(θ0)=0,故AD与AP可能重合.
故选:D.
点评 本题考查图形的翻折,考查三角函数知识的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
A. | $\frac{2012}{2013}$ | B. | $\frac{2013}{2014}$ | C. | $\frac{1}{2013}$ | D. | $\frac{1}{2014}$ |
A. | $\frac{π}{2}$ | B. | π | C. | $\frac{3π}{2}$ | D. | 2π |
A. | $\overrightarrow{AC}$ | B. | $\overrightarrow{CA}$ | C. | 0 | D. | $\overrightarrow{0}$ |