题目内容
19.在数列{an]中a1=1,an+1=2an-n+2,n∈N*.记bn=an-n+1.(Ⅰ)计算b1,b2,b3,b4,并写出数列{bn}的通项bn(不需要说明理由);
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论,求数列{an}的通项an及前n项和Sn.
分析 (Ⅰ)通过a1=1、an+1=2an-n+2,可得a2、a3、a4的值,再代入bn=an-n+1中,计算即得结论;
(Ⅱ)通过bn=2n-1、bn=an-n+1可知an=n-1+2n-1,进而Sn=[0+1+2+…+(n-1)]+(20+21+…+2n-1),计算即得结论.
解答 解:(Ⅰ)∵a1=1,an+1=2an-n+2,n∈N*.
∴a2=2a1-1+2=2-1+2=3,
a3=2a2-2+2=6-2+2=6,
a4=2a3-3+2=12-3+2=11,
∵bn=an-n+1,
∴b1=a1-1+1=1-1+1=1,
b2=a2-2+1=3-2+1=2,
b3=a3-3+1=6-3+1=4,
b4=a4-4+1=11-4+1=8,
∴数列{bn}是以1为首项、2为公比的等比数列,
∴bn=2n-1;
(Ⅱ)∵bn=2n-1,bn=an-n+1,
∴an=n-1+bn=n-1+2n-1,
∴Sn=0+20+1+21+2+22+…+(n-1)+2n-1
=[0+1+2+…+(n-1)]+(20+21+…+2n-1)
=$\frac{n(n-1)}{2}$+$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$
=$\frac{n(n-1)}{2}$+2n-1.
点评 本题考查求数列的通项及前n项和,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题.
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