Question

14．已知函数f（x）=log_ag（x）（x∈I），其中a＞0且a≠1．
（Ⅰ）若函数f（x）是奇函数，试证明：对任意的x∈I，恒有g（x）•g（-x）=1；
（Ⅱ）若对于g（x）=ax，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值是2，试求实数a的值；
（Ⅲ）设g（x）=ax²-x（x∈[3，4]）且0＜a＜1，问：是否存在实数a，使得对任意的x₁，x₂∈[3，4]，都有f（x₁）＞${a}^{{x}_{2}-3}$？如果存在，请求出a的取值范围；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）由函数f（x）是奇函数，可得f（-x）+f（x）=log₂[g（-x）g（x）]=0，即可证明；
（II）g（x）=ax，f（x）=log_a（ax）=1+log_ax，对a分类讨论，利用对数函数的单调性即可得出．
（III）假设存在实数a，使得对任意的x₁，x₂∈[3，4]，都有f（x₁）＞${a}^{{x}_{2}-3}$，则等价于对任意的x₁，x₂∈[3，4]，f（x₁）_min＞$（{a}^{{x}_{2}-3}）_{max}$．令u（x）=a^x-3，x∈[3，4]，可得u（x）_max=a^3-3=1．于是问题等价于x∈[3，4]，f（x）_min＞1．再利用复合函数的单调性即可得出．

解答 解：（I）∵函数f（x）是奇函数，
∴f（-x）+f（x）=log_ag（-x）+log_ag（x）=log₂[g（-x）g（x）]=0，
∴对任意的x∈I，恒有g（x）•g（-x）=1；
（II）g（x）=ax，f（x）=log_a（ax）=1+log_ax，
当0＜a＜1时，函数f（x）在区间[1，2]上的单调递减，∴当x=1时，函数f（x）取得最大值，f（1）=1+0=2，矛盾，舍去；
当1＜a时，函数f（x）在区间[1，2]上的单调递增，∴当x=2时，函数f（x）取得最大值，f（2）=1+log_a2=2，解得a=2；
综上可得：a=2．
（III）假设存在实数a，使得对任意的x₁，x₂∈[3，4]，都有f（x₁）＞${a}^{{x}_{2}-3}$，则等价于对任意的x₁，x₂∈[3，4]，f（x₁）_min＞$（{a}^{{x}_{2}-3}）_{max}$．
令u（x）=a^x-3，x∈[3，4]，∵0＜a＜1，∴u（x）_max=a^3-3=1．
于是问题等价于x∈[3，4]，f（x）_min＞1．
f（x）=$lo{g}_{a}（a{x}^{2}-x）$=$lo{g}_{a}[a（x-\frac{1}{2a}）^{2}-\frac{1}{4a}]$，由ax²-x＞0，解得a$＞\frac{1}{x}$，∴$\frac{1}{3}＜a＜1$．∴$\frac{1}{2}＜\frac{1}{2a}＜\frac{3}{2}$，
因此g（x）=$a（x-\frac{1}{2a}）^{2}-\frac{1}{4a}$在x∈[3，4]上单调递增，
∴f（x）在x∈[3，4]上单调递减，
∴f（x）_min=f（4）=log_a（16a-4）＞1=log_aa，
∴0＜16a-4＜a，
解得$\frac{1}{4}＜a＜\frac{4}{15}$，
又$\frac{1}{3}＜a＜1$．
∴a∈∅，
因此假设不成立，即存在实数a，使得对任意的x₁，x₂∈[3，4]，都有f（x₁）＞${a}^{{x}_{2}-3}$．

点评 本题考查了函数的奇偶性、复合函数的单调性、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．