Question

2．设函数f（x）=$\frac{a}{x}$+xlnx，g（x）=bx²．
（1）求函数h（x）=$\frac{f（x）}{x}$的单调区间；
（2）当a=0时，方程f（x）=g（x）在[1，2e]上有唯一解，求实数b的取值范围；
（3）当b=$\frac{1}{4}$时，如果对任意的s，t∈[$\frac{1}{2}$，2]，都有f（s）＞g（t）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用导数的正负，即可讨论函数h（x）=$\frac{f（x）}{x}$的单调性；
（2）b=$\frac{lnx}{x}$，令y=$\frac{lnx}{x}$，则y′=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，在[1，e]上，y′＞0，在[e，2e]上，y′＜0，即可求实数b的取值范围；
（3）求出g（x）_max=g（2）=1，当x∈[$\frac{1}{2}$，2]时，f（x）=$\frac{a}{x}$+xlnx恒成立，等价于a≥x-x²lnx恒成立，然后利用导数求函数u（x）=x-x²lnx在区间[$\frac{1}{2}$，2]上取得最大值，则实数a的取值范围可求．

解答 解：（1）h（x）=$\frac{f（x）}{x}$=$\frac{a}{{x}^{2}}$+lnx，
∴h′（x）=-$\frac{2a}{{x}^{3}}$+$\frac{1}{x}$，
∴a≤0时，h′（x）≥0，函数单调递增；
a＞0时，函数在（$\sqrt{2a}$，+∞）上单调递增，在（0，$\sqrt{2a}$）上单调递减；
（2）当a=0时，方程f（x）=g（x）为xlnx=bx²，
∴b=$\frac{lnx}{x}$，
令y=$\frac{lnx}{x}$，则y′=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，在[1，e]上，y′＞0，在[e，2e]上，y′＜0，
∴x=e，y_max=$\frac{1}{e}$，
∴b∈（0，$\frac{ln2e}{2e}$]∪{$\frac{1}{e}$}；
（3）当b=$\frac{1}{4}$时，g（x）=$\frac{1}{4}$x²，t∈[$\frac{1}{2}$，2]，g（x）_max=g（2）=1，
所以当x∈[$\frac{1}{2}$，2]时，f（x）=$\frac{a}{x}$+xlnx＞1恒成立，等价于a＞x-x²lnx恒成立，
记u（x）=x-x²lnx，所以a＞u（x）_max，u′（x）=1-x-2xlnx，可知u′（1）=0，
当x∈（$\frac{1}{2}$，1）时，1-x＞0，2xlnx＜0，则u′（x）＞0，∴u（x）在x∈（$\frac{1}{2}$，1）上单调递增；
当x∈（1，2）时，1-x＜0，2xlnx＞0，则u′（x）＜0，∴u（x）在（1，2）上单调递减；
故当x=1时，函数u（x）在区间[$\frac{1}{2}$，2]，上取得最大值u（1）=1，
故实数a的取值范围是（1，+∞）．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了导数在最大值、最小值问题中的应用，考查了数学转化思想方法和函数构造法，训练了利用分离变量法求参数的取值范围，属于中档题．