Question

【题目】在四棱锥中，底面为菱形， ，侧面为等腰直角三角形，，点为棱的中点．

（1）求证：面面；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）根据线面垂直的判定定理，先证明面，再由面面垂直的判定定理，即可证明结论成立；

（2）先由题中数据，得到；再以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，求出两向量夹角的余弦值，进而可得出结果.

（1）证明：∵，为棱的中点，∴，

又∵为菱形且，∴，

∵，∴面，

∵面，∴面面；

（2）解：∵，，∴，，

又，∴，则．

以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴建立空间直角坐标系．

则，，，，

，，．

设平面的一个法向量为．

由，取，得．

设直线与平面所成角为．

所以