Question

1．已知函数f（x）=x²-1，g（x）=a|x-1|．
（1）若关于x的方程|f（x）|=g（x）只有一个实数解，求实数a的取值范围；
（2）求函数h（x）=|f（x）|+g（x）在区间[0，2]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）化简可得|x²-1|=a|x-1|，从而可得|x-1|=0或|x+1|=a，从而求得；
（2）化简h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}-ax+a+1，0≤x≤1}\\{{x}^{2}+ax-a-1，1≤x≤2}\end{array}\right.$；从而分类讨论以确定函数的单调性及最值．

解答 解：（1）由题意得，|x²-1|=a|x-1|，
即|x-1|=0或|x+1|=a，
则当a＜0时，只有一实数解．
即实数a的取值范围为a＜0．
（2）h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}-ax+a+1，0≤x≤1}\\{{x}^{2}+ax-a-1，1≤x≤2}\end{array}\right.$；
当-$\frac{a}{2}$≤0，即a≥0时，
（-x²-ax+a+1）_max=h（0）=a+1，（x²+ax-a-1）_max=h（2）=a+3；
此时，h_max（x）=a+3；
当0＜-$\frac{a}{2}$≤1，即-2≤a＜0时，
（-x²-ax+a+1）_max=h（-$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$+a+1，（x²+ax-a-1）_max=h（2）=a+3；
此时h_max（x）=a+3； 
当1＜-$\frac{a}{2}$≤2，即-4≤a＜-2时，
（-x²-ax+a+1）_max=h（1）=0，
（x²+ax-a-1）_max=max{h（1），h（2）}=$\left\{\begin{array}{l}{0，-4≤a＜-3}\\{3+a，-3≤a＜-2}\end{array}\right.$，
此时h_max（x）=$\left\{\begin{array}{l}{0，-4≤a＜-3}\\{3+a，-3≤a＜-2}\end{array}\right.$；
当-$\frac{a}{2}$＞2，即a＜-4时，（-x²-ax+a+1）_max=h（1）=0，
此时h_max（x）=0；                       
综上：h_max（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3+a，a≥-3}\\{0，a＜-3}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了函数的综合应用及分类讨论的思想应用，属于中档题．