题目内容

对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意的都有成立，那么就把这样一类数列称作周期为的周期数列，的最小正值称作数列的最小正周期，以下简称周期。例如当时,是周期为的周期数列；当时，是周期为的周期数列。设数列满足.

（1）若数列是周期为的周期数列，则常数的值是        ；

（2）设数列的前项和为，若，则         .

 

【答案】

(1)-1, (2) 3

【解析】解：由（1）数列{an}是周期为3的数列，

得an+3=an，且 an+2=λ an+1-an 

an+3=λan+2-an+1   ⇒（λ+1）（an+2-an+1）=0，即λ=-1．

（2）利用数列的递推关系

an+3= an+2-an+1，进行分析，数列的特点，得到前2012项的为为3.

 

练习册系列答案
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（2008•上海一模）观察数列：
①1，-1，1，-1，…；
②正整数依次被4除所得余数构成的数列1，2，3，0，1，2，3，0，…；
③an=tan
nπ
3
，n=1，2，3，…
（1）对以上这些数列所共有的周期特征，请你类比周期函数的定义，为这类数列下一个周期数列的定义：对于数列{an}，如果
存在正整数T
存在正整数T
，对于一切正整数n都满足
an+T=an
an+T=an
成立，则称数列{an}是以T为周期的周期数列；
（2）若数列{an}满足an+2=an+1-an，n∈N*，Sn为{an}的前n项和，且S2=2008，S3=2010，证明{an}为周期数列，并求S2008；
（3）若数列{an}的首项a1=p，p∈[0，
1
2
），且an+1=2an（1-an），n∈N*，判断数列{an}是否为周期数列，并证明你的结论．
（2006•西城区一模）已知数列{an}满足a1=a（a≠0，且a≠1），其前n项和Sn=
a
1-a
(1-an)．
（Ⅰ）求证：{an}为等比数列；
（Ⅱ）记bn=anlg|an|（n∈N*），Tn为数列{bn}的前n项和．
（i）当a=2时，求
lim
n→∞
Tn
bn
；
（ii）当a=-
7
3
时，是否存在正整数m，使得对于任意正整数n都有bn≥bm？如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由．
如果存在常数a使得数列{an}满足：若x是数列{an}中的一项，则a-x也是数列{an}中的一项，称数列{an}为“兑换数列”，常数a是它的“兑换系数”．
（1）若数列：1，2，4，m（m＞4）是“兑换系数”为a的“兑换数列”，求m和a的值；
（2）已知有穷等差数列bn的项数是n0（n0≥3），所有项之和是B，求证：数列bn是“兑换数列”，并用n0和B表示它的“兑换系数”；
（3）对于一个不少于3项，且各项皆为正整数的递增数列{cn}，是否有可能它既是等比数列，又是“兑换数列”？给出你的结论并说明理由．
（2011•延庆县一模）对于数列{an}，如果存在一个数列{bn}，使得对于任意的n∈N*，都有an≥bn，则把{bn}叫做{an}的“基数列”．
（Ⅰ）设an=-n2，求证：数列{an}没有等差基数列；
（Ⅱ）设an=n3-n2-2tn+t2，bn=n3-2n2-n+
5
4
，（n∈N*），且{bn}是{an}的基数列，求t的取值范围；
（Ⅲ）设an=1-e-n，bn=
n
n+1
，（n∈N*），求证{bn}是{an}的基数列．
对于数列{an}，如果存在正实数M，使得数列中每一项的绝对值均不大于M，那么称该数列为有界的，否则称它为无界的．在以下各数列中，无界的数列为（　　）
A、a1=2，an+1=-2an+3
B、a1=2，an+1=
an
2
+1
C、a1=2，an+1=arctanan+1
D、a1=2，an+1=2
an
+1

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