题目内容

对于数列{an}，如果存在正实数M，使得数列中每一项的绝对值均不大于M，那么称该数列为有界的，否则称它为无界的．在以下各数列中，无界的数列为（　　）
A、a1=2，an+1=-2an+3
B、a1=2，an+1=
an
2
+1
C、a1=2，an+1=arctanan+1
D、a1=2，an+1=2
an
+1
分析：将递推关系进行变形可得{an-1}是首项为1，公比为-2的等比数列，然后求出其通项公式，研究其绝对值，看其是否存在最大值，从而确定是否是有界数列还是无界数列，得到选项．
解答：解：∵a1=2，an+1=-2an+3
∴an+1-1=-2（an-1）即{an-1}是首项为1，公比为-2的等比数列
∴an-1=（-2）n-1即an=（-2）n-1+1
|an|=|（-2）n-1+1|当n取无穷大时，|an|也趋向无穷大
∴该数列为无界的．
故选A．
点评：本题主要考查了数列的通项公式，以及构造法的运用，转化成等比数列进行求解，属于基础题．
练习册系列答案
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10、对于数列{an}（n∈N+，an∈N+），若bk为a1，a2，a3…ak中的最大值，则称数列{bn}为数列{an}的“凸值数列”．如数列2，1，3，7，5的“凸值数列”为2，2，3，7，7．由此定义可知，“凸值数列”为1，3，3，9，9的所有数列{an}个数为（　　）
对于数列{an}，定义数列{bm}如下：对于正整数m，bm是使得不等式an≥m成立的所有n中的最小值． 如{an}是单调递增数列，a3=4，则b4=3；若数列{an}的通项公式为an=2n-1，n∈N*，则数列{bm}的通项是
bm=
m+1
2
，m是奇数
m+2
2
，m是偶数
bm=
m+1
2
，m是奇数
m+2
2
，m是偶数
．
如表定义的函数f（x），对于数列{an}，a1=4，an=f（an-1），n=2，3，4，…，那么a2006的值是（　　）
x 1 2 3 4 5
f（x） 5 4 3 1 2
对于数列{An}：A1，A2，A3，…，An，若不改变A1，仅改变A2，A3，…，An中部分项的符号，得到的新数列{an}称为数列{An}的一个生成数列．如仅改变数列1，2，3，4，5的第二、三项的符号可以得到一个生成数列1，-2，-3，4，5．已知数列{an}为数列{
1
2n
}(n∈N*)的生成数列，Sn为数列{an}的前n项和．
（1）写出S3的所有可能值；
（2）若生成数列{an}满足：S3n=
1
7
(1-
1
8n
)，求{an}的通项公式；
（3）证明：对于给定的n∈N*，Sn的所有可能值组成的集合为：{x|x=
2m-1
2n
，m∈N*，m≤2n-1}．
对于数列{An}：A1，A2，A3，…，An，若不改变A1，仅改变A2，A3，…，An中部分项的符号，得到的新数列{an}称为数列{An}的一个生成数列．如仅改变数列1，2，3，4，5的第二、三项的符号可以得到一个生成数列1，-2，-3，4，5．已知数列{an}为数列{
1
2n
}(n∈N*)的生成数列，Sn为数列{an}的前n项和．
（1）写出S3的所有可能值；
（2）若生成数列{an}的通项公式为an=
1
2n
，n=3k+1
-
1
2n
，n≠3k+1
，k∈N，求Sn；
（3）用数学归纳法证明：对于给定的n∈N*，Sn的所有可能值组成的集合为：{x|x=
2m-1
2n
，m∈N*，m≤2n-1}．

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