题目内容
已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点M(2，t)(t>0)在直线x＝
(a为长半轴，c为半焦距)上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求以OM为直径且被直线3x－4y－5＝0截得的弦长为2的圆的方程；
(3)设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．
(a为长半轴，c为半焦距)上．(1)求椭圆的标准方程；
(2)求以OM为直径且被直线3x－4y－5＝0截得的弦长为2的圆的方程；
(3)设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．
（1）
＋y2＝1（2）(x－1)2＋(y－2)2＝5（3）
＋y2＝1（2）(x－1)2＋(y－2)2＝5（3）(1)解：由点M在准线上，得＝2，故
＝2，∴c＝1，从而a＝，所以椭圆方程为＋y2＝1.
(2)解：以OM为直径的圆的方程为x(x－2)＋y(y－t)＝0，即(x－1)2＋
＝
＋1，其圆心为
，半径r＝
，因为以OM为直径的圆被直线3x－4y－5＝0截得的弦长为2，所以圆心到直线3x－4y－5＝0的距离d＝
＝
，所以
＝，解得t＝4，所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.
(3)证明：设N(x0，y0)，则
＝(x0－1，y0)，
＝(2，t)，
＝(x0－2，y0－t)，
＝(x0，y0)．∵⊥，∴2(x0－1)＋ty0＝0，∴2x0＋ty0＝2.
∵⊥，∴x0(x0－2)＋y0(y0－t)＝0，∴
＋
＝2x0＋ty0＝2，∴||＝
＝为定值．
＝2，故＝2，∴c＝1，从而a＝，所以椭圆方程为＋y2＝1.(2)解：以OM为直径的圆的方程为x(x－2)＋y(y－t)＝0，即(x－1)2＋
＝＋1，其圆心为，半径r＝，因为以OM为直径的圆被直线3x－4y－5＝0截得的弦长为2，所以圆心到直线3x－4y－5＝0的距离d＝＝，所以＝，解得t＝4，所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.(3)证明：设N(x0，y0)，则
＝(x0－1，y0)，＝(2，t)，＝(x0－2，y0－t)，＝(x0，y0)．∵⊥，∴2(x0－1)＋ty0＝0，∴2x0＋ty0＝2.∵
⊥，∴x0(x0－2)＋y0(y0－t)＝0，∴＋＝2x0＋ty0＝2，∴||＝＝为定值．
练习册系列答案
相关题目
（
）的准线与
轴交于点
．
（直线与抛物线交于点
，
），使得三角形
的面积
？若存在，请求出直线
＋
＝1
的离心率为
，左焦点为F(－1，0)，
，求直线L的方程；
？
与直线
相切于点
，与
正半轴交于点
，与直线
在第一象限的交点为
.点
为圆
，动点
的轨迹记为曲线
．
和
分别交曲线
、
和
、
，求四边形
面积的最大值，并求此时的
的值．
（a>0，b>0）的一个焦点坐标为（
，0），离心率
， A、B是双曲线上的两点，AB的中点M（1，2）.
+
=1(a>b>0)的离心率为
,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+
=0相切,过点P(4,0)且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点.
·
的取值范围;
的圆心在坐标原点O，且恰好与直线
相切.
轴于N，若动点Q满足
（其中m为非零常数），试求动点
的轨迹方程
.
时，得到动点Q的轨迹曲线C，与
垂直的直线
与曲线C交于 B、D两点，求
面积的最大值.
＝1(a＞b＞0)的短半轴长b＝1，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6＋4
.
＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，短轴端点为B1、B2，
＝2b2.