题目内容
【题目】已知F1 , F2为椭圆E的左右焦点,点P(1, )为其上一点,且有|PF1|+|PF2|=4
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)过F1的直线l1与椭圆E交于A,B两点,过F2与l1平行的直线l2与椭圆E交于C,D两点,求四边形ABCD的面积SABCD的最大值.
【答案】解:(I)设椭圆E的标准方程为 ,
由已知|PF1|+|PF2|=4,得2a=4,∴a=2,
又点P(1, )在椭圆上,∴ ,∴b= ,
椭圆E的标准方程为 =1.
(II)由题意可知,四边形ABCD为平行四边形,
∴SABCD=4S△OAB,
设直线AB的方程为x=my﹣1,且A(x1,y1),B(x2,y2),
由 ,得(3m2+4)y2﹣6my﹣9=0,
∴y1+y2= ,y1y2=﹣ ,
S△OAB= + = |OF1||y1﹣y2|=
= =6
令m2+1=t,则t≥1,S△OAB=6 =6
又∵g(t)=9t+ 在[1,+∞)上单调递增
∴g(t)≥g(1)=10,∴S△OAB的最大值为 .
∴SABCD的最大值为6
【解析】(I)设椭圆E的标准方程为 ,由已知|PF1|+|PF2|=4, ,由此能求出椭圆E的标准方程.(II)由题意可知,四边形ABCD为平行四边形,S△ABCD=4S△OAB,设直线AB的方程为x=my﹣1,且A(x1,y1),B(x2,y2),由 ,得(3m2+4)y2﹣6my﹣9=0,由此利用弦长公式能求出S△BCD的最大值.
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