Question

函数f（x）=log_a（a^x-1），（0＜a＜1），
（1）求f（x）的定义域；
（2）证明在定义域内f（x）是增函数；
（3）解方程f（2x）=log_a（a^x+1）

Answer 1

分析：（1）利用对数函数的性质求定义域．（2）利用函数的单调性的定义证明函数的单调性．（3）利用对数函数的性质解对数方程．

解答：解：（1）要使函数有意义，则a^x-1＞0，即a^x＞1，因为0＜a＜1，所以x＜0．
即函数的定义域为（-∞，0）．
（2）任设x₁＜x₂＜0，
则f(x2)-f(x1)=loga

ax2-1

ax1-1

，
因为0＜a＜1，x₁＜x₂＜0，
所以0＜ax2-1＜ax1-1，
即0＜

ax2-1

ax1-1

＜1，所以f(x2)-f(x1)=loga

ax2-1

ax1-1

＞0，
所以f（x₂）＞f（x₁），所以函数f（x）在定义域内f（x）是增函数．
（3）由f（2x）=log_a（a^x+1）得loga(ax+1)=loga(a2x-1)，
即a^x+1=a^2x-1，
所以a^2x-a^x-2=0，解得a^x=2，x=log_a2，或者a^x=-1不成立舍去．
所以方程 的根为x=log_a2．

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质，考查学生的运算能力．