Question

11．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁＜0，S₂₀₁₅=0．
（1）求S_n的最小值及此时n的值；
（2）求n的取值集合，使a_n≥S_n．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列的前n项和公式，进行求解即可求S_n的最小值及此时n的值；
（2）求出数列的通项公式以及前n项和公式，解不等式即可．

解答 解：（1）∵S₂₀₁₅=0，
∴S₂₀₁₅=2015a₁+$\frac{2015×2014}{2}$d=0，
即a₁+1007d=0，则d=-$\frac{{a}_{1}}{1007}$＞0，
∵S₂₀₁₅=$\frac{2015（{a}_{1}+{a}_{2015}）}{2}$=2015a₁₀₀₈=0，
即a₁₀₀₈=0，
∵公差d＞0，∴a₁₀₀₉＞0，
∴当n=1007或1008时，S_n取得最小值，此时S₁₀₀₈=$\frac{1008（{a}_{1}+0）}{2}$=504a₁．
（2）若a_n≥S_n．
即a₁+（n-1）d≥na₁+$\frac{n（n-1）}{2}d$，
即（n-1）d≥（n-1）a₁+$\frac{n（n-1）}{2}d$，
（n-1）（d-a₁-$\frac{n}{2}$d）≥0，
∴（n-1）[$-\frac{{a}_{1}}{1007}$-a₁-$\frac{n}{2}$×（$-\frac{{a}_{1}}{1007}$）]≥0，
即（n-1）（n-2016）≤0，
∴1≤n≤2016．

点评 本题主要考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查学生的运算能力．