题目内容
20．已知函数f（x）=（m-2）x${\;}^{lo{g}_{\sqrt{2}}（{m}^{2}+1）}$是幂函数，则f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{9}•{3}^{-2lo{g}_{2}5}$．分析 由幂函数的定义求得m的值，代入幂函数化简，进一步利用对数的运算性质求得f（$\frac{1}{3}$）．
解答 解：∵函数f（x）=（m-2）x${\;}^{lo{g}_{\sqrt{2}}（{m}^{2}+1）}$是幂函数，
∴m-2=1，即m=3，
则f（x）=（m-2）x${\;}^{lo{g}_{\sqrt{2}}（{m}^{2}+1）}$=${x}^{lo{g}_{\sqrt{2}}10}$，
∴f（$\frac{1}{3}$）=$（\frac{1}{3}）^{lo{g}_{\sqrt{2}}10}$=${3}^{-lo{g}_{\sqrt{2}}10}$=${3}^{-2lo{g}_{2}10}$=$\frac{1}{9}•{3}^{-2lo{g}_{2}5}$．
故答案为：$\frac{1}{9}•{3}^{-2lo{g}_{2}5}$．
点评 本题考查幂函数的定义，考查了对数的运算性质，是基础的计算题．
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