Question

【题目】如图，已知平面平面为等边三角形，为的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）求直线和平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）取CE的中点G，连接，通过证明平面得面面垂直；

（2）过点B作交于M，连接FM，即为所求线面角，根据线面位置关系计算正弦值.

（1）证明：取CE的中点G，连接.

∵F为CD的中点，∴且.

∵平面平面ACD，

∴，∴.

又，∴，

∴四边形为平行四边形，则.

∵为等边三角形，F为CD的中点，∴.

∵平面，平面，∴.

又，故平面.

∵，∴平面.

∵平面，

∴平面平面.

（2）不妨设，过点B作交于M，

连接FM，由（1）平面平面，，平面，

平面平面，所以平面，

所以为所求线面角，

又因为平面平面，所以在中，，

在直角梯形中，，所以为等腰三角形，

，

所以直线和平面所成角的正弦值为.