题目内容
【题目】如图，点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个结论：
①三棱锥A﹣D1PC的体积不变；
②A1P∥平面ACD1；
③DP⊥BC1；
④平面PDB1⊥平面ACD1 ．
其中正确的结论的个数是（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【答案】C
【解析】解：对于①，由题意知AD1∥BC1 ， 从而BC1∥平面AD1C，
故BC1上任意一点到平面AD1C的距离均相等，
所以以P为顶点，平面AD1C为底面，则三棱锥A﹣D1PC的体积不变，故①正确；
对于②，连接A1B，A1C1 ， A1C1∥AD1且相等，由于①知：AD1∥BC1 ，
所以BA1C1∥面ACD1 ， 从而由线面平行的定义可得，故②正确；
对于③，由于DC⊥平面BCB1C1 ， 所以DC⊥BC1 ，
若DP⊥BC1 ， 则BC1⊥平面DCP，
BC1⊥PC，则P为中点，与P为动点矛盾，故③错误；
对于④，连接DB1 ， 由DB1⊥AC且DB1⊥AD1 ，
可得DB1⊥面ACD1 ， 从而由面面垂直的判定知，故④正确．
故选：C．
【考点精析】解答此题的关键在于理解命题的真假判断与应用的相关知识，掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系，以及对棱柱的结构特征的理解，了解两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形．
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