题目内容
(2013•东莞一模)设等差数列{an},{bn}前n项和Sn,Tn满足
=
,且
+
=
,S2=6;函数g(x)=
(x-1),且cn=g(cn-1)(n∈N,n>1),c1=1.
(1)求A;
(2)求数列{an}及{cn}的通项公式;
(3)若dn=
,试求d1+d2+…+dn.
Sn |
Tn |
An+1 |
2n+7 |
a3 |
b4+b6 |
a7 |
b2+b8 |
2 |
5 |
1 |
2 |
(1)求A;
(2)求数列{an}及{cn}的通项公式;
(3)若dn=
|
分析:(1)利用等差中项的概念,把
+
=
转化为
=
,结合
=
得到
=
,从而A的值可求;
(2)由A=1,可令Sn=kn(n+1),由S2=6求出k,则Sn可求,分n=1和n≥2求得an.把给出的cn=g(cn-1)变形,得到数列{cn+1}是
为公比,以c1+1=2为首项的等比数列,由等比数列的通项公式求出cn+1,从而得到cn;
(3)分n=2k和n=2k+1两类写出d1+d2+…+dn,然后利用分组求和.
a3 |
b4+b6 |
a7 |
b2+b8 |
2 |
5 |
a5 |
b5 |
2 |
5 |
Sn |
Tn |
An+1 |
2n+7 |
9A+1 |
2×9+7 |
2 |
5 |
(2)由A=1,可令Sn=kn(n+1),由S2=6求出k,则Sn可求,分n=1和n≥2求得an.把给出的cn=g(cn-1)变形,得到数列{cn+1}是
1 |
2 |
(3)分n=2k和n=2k+1两类写出d1+d2+…+dn,然后利用分组求和.
解答:解:(1)∵{an},{bn}是等差数列,
由
+
=
,得
+
=
=
=
,
而
=
=
=
,
∴
=
,解得A=1;
(2)令Sn=kn(n+1),∵S2=6,得6k=6,k=1,即Sn=n2+n.
当n=1时,a1=S1=2,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-[(n-1)2+(n-1)]=2n,
该式对n=1时成立,所以an=2n;
由题意cn=
(cn-1-1),变形得cn+1=
(cn-1+1)(n≥2),
∴数列{cn+1}是
为公比,以c1+1=2为首项的等比数列.
cn+1=2•(
)n-1,即cn=(
)n-2-1;
(3)当n=2k+1时,d1+d2+…+dn=(a1+a3+…a2k+1)+(c2+c4+…+c2k)
=[2+6+10+…+2(2k+1)]+[(1-1)+(
-1)+…+(
-1)]
=2(k+1)2+
[1-(
)k]-k=2k2+3k+2+
[1-(
)k]
=
+
[1-(
)n-1].
当n=2k时,d1+d2+…+dn=(a1+a3+…a2k-1)+(c2+c4+…+c2k)
=[2+6+10+…+2(2k-1)]+[(1-1)+(
-1)+…+(
-1)]
=2k2-k+
[1-(
)k]=
+
[1-(
)n].
综上:d1+d2+…dn=
.
由
a3 |
b4+b6 |
a7 |
b2+b8 |
2 |
5 |
a3 |
2b5 |
a7 |
2b5 |
2a5 |
2b5 |
a5 |
b5 |
2 |
5 |
而
S9 |
T9 |
| ||
|
a5 |
b5 |
2 |
5 |
∴
9A+1 |
2×9+7 |
2 |
5 |
(2)令Sn=kn(n+1),∵S2=6,得6k=6,k=1,即Sn=n2+n.
当n=1时,a1=S1=2,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-[(n-1)2+(n-1)]=2n,
该式对n=1时成立,所以an=2n;
由题意cn=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴数列{cn+1}是
1 |
2 |
cn+1=2•(
1 |
2 |
1 |
2 |
(3)当n=2k+1时,d1+d2+…+dn=(a1+a3+…a2k+1)+(c2+c4+…+c2k)
=[2+6+10+…+2(2k+1)]+[(1-1)+(
1 |
22 |
1 |
22k-2 |
=2(k+1)2+
4 |
3 |
1 |
4 |
4 |
3 |
1 |
4 |
=
n2+n+2 |
2 |
4 |
3 |
1 |
2 |
当n=2k时,d1+d2+…+dn=(a1+a3+…a2k-1)+(c2+c4+…+c2k)
=[2+6+10+…+2(2k-1)]+[(1-1)+(
1 |
22 |
1 |
22k-2 |
=2k2-k+
4 |
3 |
1 |
4 |
n2-n |
2 |
4 |
3 |
1 |
2 |
综上:d1+d2+…dn=
|
点评:本题考查了等差关系的确定,考查了等差数列的通项公式和等差中项概念,训练了分类讨论的数学思想方法,考查了数列的分组求和及等差数列和等比数列的前n项和公式,是中档题.
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