题目内容

已知点C(4,0)和直线l:x=1,过动点P作PQ⊥l,垂足为Q,且(
PC
+2
PQ
)•(
PC
-2
PQ
)=0

(1)求点P的轨迹方程,
(2)过点C的直线m与点P的轨迹交于两点M(x1,y1),N(x2,y2),其中x1x2>0,点B(1,0),若△BMN的面积为36
5
,求直线m的方程.
分析:(1)由|
PC
|2-4|
PQ
|2=0
,知|
PC
|=2|
PQ
|
,设P(x,y),代入得
(x-4)2+y2
=2|x-1|
,整理得点P的轨迹方程.
(2)由题知直线m的斜率不为0,且点C(4,0)为双曲线
x2
4
-
y2
12
=1
的右焦点,设m的方程为x=ty+4,由
x2
4
-
y2
12
=1
x=ty+4
得(3t2-1)y2+24ty+36=0,所以x1x2=(ty1+4)(ty2+4)=t2y1y2+4t(y1+y2)+16.由此入手能够求出直线m的方程.
解答:解:(1)由题|
PC
|2-4|
PQ
|2=0
,∴|
PC
|=2|
PQ
|

设P(x,y),
代入得
(x-4)2+y2
=2|x-1|

整理得点P的轨迹方程为:
x2
4
-
y2
12
=1
,(3分)
(2)由题知直线m的斜率不为0,
且点C(4,0)为双曲线
x2
4
-
y2
12
=1
的右焦点,
设m的方程为x=ty+4,由
x2
4
-
y2
12
=1
x=ty+4
得(3t2-1)y2+24ty+36=0,(5分)
易知3t2-1≠0且
y1+y2=
-24t
3t2-1
y1y2=
36
3t2-1

∴x1x2=(ty1+4)(ty2+4)=t2y1y2+4t(y1+y2)+16,(7分)
由x1x2>0得
3t2+4
3t2-1
<0?t2
1
3
S△BMN=
1
2
|BC||y1-y2|
=
3
2
×
(24t)2-4×36(3t2-1)
|3t2-1|
=
18
1+t2
|3t2-1|
=
18
1+t2
1-3t2
=36
5
,(10分)
解得t2=
1
4
t2=
19
45
(舍),
t2=
1
4
?t=±
1
2

直线m的方程为:2x+y-8=0或2x-y-8=0.(12分)
点评:本题考查轨迹方程的求法和直线方程的求法,解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化.
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