题目内容

已知函数 $数学公式$ （a为常数）．
（Ⅰ）当a=5时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）若f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围．

解：（Ⅰ）a=5时， $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$

x	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	x=4	x＞4
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大值 $\text{[math]}$	递减	极小值f（4）	递增

∴ $\text{[math]}$ ，f（x）_极小=-6+ln4
（Ⅱ）解法1：∵f（x）在定义域（0，+∞）上是增函数，∴f'（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，即 $\text{[math]}$ …（8分）∴ $\text{[math]}$
又 $\text{[math]}$ （当且仅当x=1时， $\text{[math]}$ ）∴ $\text{[math]}$ …（13分）∴a∈（-∞，4]
解法2：令 $\text{[math]}$ ，则： $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$
解得，a≤0，或0＜a≤4，
∴a∈（-∞，4]
分析：（Ⅰ）求出函数的导数，令导数等于0，解得x的值，为函数的极值点，列表考查极值点两侧导数的正负，判断极值点处为极大值还是极小值，再求出极值即可．
（Ⅱ）解法1，若f（x）在定义域上是增函数，则f（x）在整个定义域上，导数大于0恒成立，得到含a和x的不等式，根据x的范围求出a的范围即可．
解法2，前面同解法1，先得到含a和x的不等式，把 $\text{[math]}$ 看做一个整体，用t表示，则f'（x）可看做关于t的二次函数，即关于t的二次函数图象恒在x轴上方，在判断参数a份额范围．
点评：本题主要考查了应用导数求函数的极值，判断函数的单调性，属于导数的应用．