题目内容
【题目】设a<1,集合A={x∈R|x>0},B={x∈R|2x2﹣3(1+a)x+6a>0},D=A∩B.
(1)求集合D(用区间表示);
(2)求函数f(x)=2x3﹣3(1+a)x2+6ax在D内的极值点.
【答案】
(1)解:记h(x)=2x2﹣3(1+a)x+6a(a<1)
△=9(1+a)2﹣48a=(3a﹣1)(3a﹣9),
当△<0,即 ,D=(0,+∞),
当 ,
当a≤0,
(2)解:由f′(x)=6x2﹣6(1+a)x+6a=0得x=1,a,
①当 ,f(x)在D内有一个极大值点a,有一个极小值点;
②当 ,∵h(1)=2﹣3(1+a)+6a=3a﹣1≤0,
h(a)=2a2﹣3(1+a)a+6a=3a﹣a2>0,
∴1D,a∈D,
∴f(x)在D内有一个极大值点a.
③当a≤0,则aD,
又∵h(1)=2﹣3(1+a)+6a=3a﹣1<0.
∴f(x)在D内有无极值点
【解析】(1)根据方程2x2﹣3(1+a)x+6a=0的判别式讨论a的范围,求出相应D即可;(2)由f′(x)=6x2﹣6(1+a)x+6a=0得x=1,a,然后根据(1)中讨论的a的取值范围分别求出函数极值即可.
【考点精析】掌握集合的交集运算和函数的极值与导数是解答本题的根本,需要知道交集的性质:(1)A∩BA,A∩B
B,A∩A=A,A∩
=
,A∩B=B∩A;(2)若A∩B=A,则A
B,反之也成立;求函数
的极值的方法是:(1)如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极大值(2)如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极小值.

【题目】受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关,某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年,现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆,统计数据如下:
品牌 | 甲 | 乙 | |||
首次出现故障时间x(年) | 0<x<1 | 1<x≤2 | x>2 | 0<x≤2 | x>2 |
轿车数量(辆) | 2 | 3 | 45 | 5 | 45 |
每辆利润(万元) | 1 | 2 | 3 | 1.8 | 2.9 |
将频率视为概率,解答下列问题:
(Ⅰ)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求首次出现故障发生在保修期内的概率;
(Ⅱ)若该厂生产的轿车均能售出,记住生产一辆甲品牌轿车的利润为X1 , 生产一辆乙品牌轿车的利润为X2 , 分别求X1 , X2的分布列;
(Ⅲ)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌轿车,若从经济效益的角度考虑,你认为应该产生哪种品牌的轿车?说明理由.
【题目】近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨);
“厨余垃圾”箱 | “可回收物”箱 | “其他垃圾”箱 | |
厨余垃圾 | 400 | 100 | 100 |
可回收物 | 30 | 240 | 30 |
其他垃圾 | 20 | 20 | 60 |
(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率;
(2)试估计生活垃圾投放错误的概率;
(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a,b,c,其中a>0,a+b+c=600.当数据a,b,c的方差s2最大时,写出a,b,c的值(结论不要求证明),并求此时s2的值.
(求:S2= [
+
+…+
],其中
为数据x1 , x2 , …,xn的平均数)