题目内容
【题目】已知命题p:函数f(x)=(m2﹣1) 上为增函数;命题q:函数g(x)=x2﹣2elnx﹣m有零点.
(I)若p∨q为假命题,求实数m的取值范围;
(Ⅱ)若p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数m的取值范围.
【答案】解:若命题p为真命题,
即函数f(x)=(m2﹣1) 上为增函数,
则m2﹣1>0,解得:m<﹣1,或m>1,
∵函数g(x)=x2﹣2elnx﹣m
∴g′(x)=2x﹣
当x∈(0, )时,g′(x)<0,当x∈(
,+∞)时,g′(x)>0,
故当x= 时,函数g(x)取最小值﹣m,
若命题q为真命题:函数g(x)=x2﹣2elnx﹣m有零点.
则:﹣m≤0,即m≥0,
(I)若p∨q为假命题,则p,q均为假命题,
则 ,
解得:﹣1≤m<0;
(Ⅱ)若p∨q为真命题,p∧q为假命题,则p,q一真一假,
若p真q假,则 ,解得:m<﹣1
若p假q真,则 ,解得:0≤m≤1,
综上可得:0≤m≤1,或m<﹣1
【解析】当命题p为真命题时,列出不等式,求出m的取值范围;利用导数讨论函数g(x)的单调性,求出函数g(x)的最小值,当命题q为真命题时写出m的取值范围;(1)若pq为假命题,则p、q均为假命题;(2)若p
q为真命题,p
q为假命题,则p,q一真一假.
【考点精析】解答此题的关键在于理解复合命题的真假的相关知识,掌握“或”、 “且”、 “非”的真值判断:“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反;“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真,其他情况时为假;“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假,其他情况时为真,以及对函数的极值与导数的理解,了解求函数的极值的方法是:(1)如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极大值(2)如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极小值.
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