Question

4．某民航站共有1到4四个入口，每个入口处每次只能进一个人，一小组4个人进站的方案数为840．

Answer 1

分析 根据题意，按照4个人选择入站口的数目分4种情况讨论：①、4个人选择同一个入口处入站，②、4个人选择2个不同的入口处入站，③、4个人选择3个不同的入口处入站，④、4个人选择4个不同的入口处入站；每种情况下分析入站口选择的情况数目、分组的情况数目以及每组人与人之间的顺序，由分步计数原理可得每种情况下进站的方案数目，进而由分类计数原理将4种情况下的进站的方案数相加即可得答案．

解答 解：根据题意，分4种情况讨论：
①、4个人选择同一个入口处入站，共有4个入口处，即有4种选择，
考虑4个人之间的顺序，有A₄⁴=24种情况，
则此时有4×24=96种进站的方案；
②、4个人选择2个不同的入口处入站，在4个入口处选2个，有C₄²=6种选法，
将4个人分成2组，
如果每组2人，有$\frac{1}{2}$C₄²=3种分组方法，将这两组对应2个入口，有A₂²=2种情况，考虑每组2人的顺序，有A₂²A₂²=4种不同的顺序，
则每组2人有6×3×2×4=144种进站的方案，
如果一组1人，另一组3人，有C₄³C₁¹=4种分组方法，将这两组对应2个入口，有A₂²=2种情况，考虑3人组3人之间的顺序，有A₃³=6种不同的顺序，
则每组2人有6×4×2×6=288种进站的方案，
则选择2个入口处入站，有144+288=432种进站的方案；
③、4个人选择3个不同的入口处入站，在4个入口处选3个，有C₄³=4种选法，
将4个人分成2组，必然一组2人，剩余2组每组1人，有C₄²=6种分组方法，
将这两组对应3个入口，有A₃³=6种情况，考虑2人组2人之间的顺序，有A₂²=2种不同的顺序，
则此时有4×6×6×2=288种进站的方案；
④、4个人选择4个不同的入口处入站，
将4人全排列，对应4个入口处即可，
此时有A₄⁴=24种不同的进站的方案，
则一共有96+432+288+24=840种不同的进站的方案；
故答案为：840．

点评 本题考查排列、组合的运用，解题的关键是正确的分类讨论，务必做到不重不漏．