Question

如图：已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，过BD₁的平面分别交棱AA₁和棱CC₁于E、F两点．
（1）求证：A₁E=CF；
（2）若E、F分别是棱AA₁和棱CC₁的中点，求证：平面EBFD₁⊥平面BB₁D₁．

Answer 1

分析：（1）由正方体的结构特征，结合已知中过BD₁的平面分别交棱AA₁和棱CC₁于E、F两点，根据面面平行的性质定理，可得D₁E∥BF，BE∥D₁F，即四边形EBFD₁为平行四边形，进而由HL可证得Rt△A₁D₁E≌Rt△CB，由全等三角形的性质可得A₁E=CF；
（2）若E、F分别是棱AA₁和棱CC₁的中点，易得四边形EBFD₁为菱形．连接EF、BD₁、A₁C₁．则四边形EBFD₁为菱形，由正方形的结构特征及菱形的性质，可证得EF⊥平面BB₁D₁，进而根据面面垂直的判定定理可得平面EBFD₁⊥平面BB₁D₁．

解答：解：（1）证明：由题知，平面EBFD₁与平面BCC₁B₁交于BF、与平面ADD₁A交于ED₁ …（1分）
又平面BCC₁B₁∥平面ADD₁A₁
∴D₁E∥BF  …（2分）
同理BE∥D₁F   …（3分）
∴四边形EBFD₁为平行四边形
∴D₁E=BF   …（4分）
∵A₁D₁═CB，D₁E=BF，∠D₁A₁E=∠BCF=90°
∴Rt△A₁D₁E≌Rt△CBF
∴A₁E=CF   …（6分）
（2）∵四边形EBFD₁是平行四边形．AE=A₁E，FC=FC₁，
∴Rt△EAB≌Rt△FCB，
∴BE=BF，故四边形EBFD₁为菱形． …（8分）
连接EF、BD₁、A₁C₁．∵四边形EBFD₁为菱形，∴EF⊥BD₁，
在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，有B₁D₁⊥A₁C₁，B₁D⊥A₁A
∴B₁D₁⊥平面A₁ACC₁．   …（10分）
又EF?平面A₁ACC₁，∴EF⊥B₁D₁．又B₁D₁∩BD₁=D₁，
∴EF⊥平面BB₁D₁．
又EF?平面EBFD₁，故平面EBFD₁⊥平面BB₁D₁．  …（12分）

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，平面与平面平行的性质，其中（1）的关键是由面面平行的性质定义证得D₁E∥BF，BE∥D₁F，进而得到四边形EBFD₁为平行四边形，（2）的关键是证得EF⊥平面BB₁D₁．