Question

【题目】设函数f（x）=|x﹣a|，a＜0．
（Ⅰ）证明f（x）+f（﹣ ）≥2；
（Ⅱ）若不等式f（x）+f（2x）＜ 的解集非空，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明：函数f（x）=|x﹣a|，a＜0，

则f（x）+f（﹣ ）=|x﹣a|+|﹣ ﹣a|

=|x﹣a|+| +a|≥|（x﹣a）+（ +a）|

=|x+ |=|x|+ ≥2 =2．

（Ⅱ）解：f（x）+f（2x）=|x﹣a|+|2x﹣a|，a＜0．

当x≤a时，f（x）=a﹣x+a﹣2x=2a﹣3x，则f（x）≥﹣a；

当a＜x＜ 时，f（x）=x﹣a+a﹣2x=﹣x，则﹣ ＜f（x）＜﹣a；

当x 时，f（x）=x﹣a+2x﹣a=3x﹣2a，则f（x）≥﹣ ．

则f（x）的值域为[﹣ ，+∞），

不等式f（x）+f（2x）＜ 的解集非空，即为

＞﹣ ，解得，a＞﹣1，由于a＜0，

则a的取值范围是（﹣1，0）

【解析】（Ⅰ）运用绝对值不等式的性质和基本不等式，即可得证；（Ⅱ）通过对x的范围的分类讨论去掉绝对值符号，转化为一次不等式，求得（f（x）+f（2x））min即可．