题目内容
【题目】已知向量
，向量
，函数
.
（1）求函数
在区间
上的最大值和最小值；
（2）求证：存在大于
的正实数
，使得不等式
在区间
有解.（其中
为自然对数的底数）
【答案】（1）最大值为
，最小值为
；（2）证明见解析.
【解析】
（1）利用平面向量数量积的坐标运算、二倍角降幂公式以及辅助角公式得出
，由
计算出
的取值范围，然后利用正弦函数的图象和性质得出函数
在区间
上的最大值和最小值；
（2）将问题转化为两个函数
和函数
在区间
上是否存在交点问题.
（1）
，
，
，
，
因此，函数在区间上的最大值为，最小值为；
（2）存在大于
的正实数
，使得不等式
在区间
有解，
即存在大于的正实数，使得不等式
在区间有解，
令，，
则当
时，函数
单调递增，函数
单调递增，
又
，
，
，
，
函数与函数在有且仅有一个交点，
故存在大于的正实数，使得不等式在区间有解.
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